Question

离散:设<G.*>是一个群。如果对任意的a,b属于G都有a^3*b^3=(a*b)^3,

Answer 1

证明：由题设可知(a*b)3=a3*b3，则
a*b*a*b*a*b=a*a*a*b*b*b
从左边消去a和右边消去b后可得
b*a*b*a=a*a*b*b
即
(b*a)2=a2*b2
又由题设可知(a*b)5=a5*b5，则
a*b*a*b*a*b*a*b*a*b=a*a*a*a*a*b*b*b*b*b
从左边消去a和右边消去b后可得
(b*a)4=a4*b4
由已证得(b*a)2=a2*b2，所以有
a2*b2*a2*b2=a4*b4
再从左边消去a2和右边消去b2后可得
b2*a2=a2*b2
又由于
(b*a)2=a2*b2=b2*a2
利用已知结果知
a*b=b*a
所以<G,
*>是阿贝尔群。

Answer 2

由
a^3
b^3
=
(ab)^3
和
a^4
b^4
=
(ab)^4，
(ab)^4
=
a^4
b^4
=
a
(a^3
b^3)
b
=
a
(ab)^3
b，
写出来，消掉两头的那个a和b，就是(ba)^3=(ab)^3；
类似，可以得到(ba)^4
=
(ab)^4；
两个式子一除，得到ba=ab，对任意a和b。