Question

高中数学求下列函数的最大值与最小值

Answer 1

1)
f(x)=-x^4+2x^2+3
x∈[-3，2]

2）f(x)=(x+1)/(x^2+1)
x∈[0，4]

解：1）f(x)=-x^4+2x^2+3

=-x^4-x^2+3x^2+3

=-(x^2+1)x^2+3(x^2+1)

=(x^2+1)(3-x^2)

观察易知最小值是当x=-3时取到，此时f（x）的最小值=10*（-6）=-60

最大值易知时正的，那么此时3-x^2>0，而x^2+1>0

又∵x^2+1+3-x^2=4，即和为定值，积有最大值
（用ab<=[(a+b)/2]²，a>0，b>0）

(把a=x^2+1，b=3-x^2)

所以(x^2+1)(3-x^2)<=[(x^2+1+3-x^2)/2]²=4，此时x²=1，x=±1显然x能取到

所以最大值是4

2）令y=f(x)=(x+1)/(x^2+1)
x∈[0,4]

=(x^2-x^2+x+1)/(x^2+1)

=1-(x^2-x)/(x^2+1)

yx^2+y=x+1，整理得yx^2-x+y-1=0，看做是x得二次方程，它有解则判别式>=0

b^2-4ac=1-4y(y-1)>=0

-4y^2+4y+1>=0

4y^2-4y-1<=0

4y^2-4y+1-2<=0

(2y-1)²<=2

-√2<=2y-1<=√2

-√2+1<=2y<=√2+1

(-√2+1)/2<=y<=(√2+1)/2

所以y的最大值为(√2+1)/2，因为这里的y的最小值取不到，所以y得最小值为x=4时取到，所以为4+1/16+1=1/17