Question

圆锥曲线的弦长公式和中点弦斜率公式在考试中是可以直接用的吧？

Answer 1

中点弦斜率公式的应用逯宏伟（陕西省户县一中710300）解析几何中，与圆锥曲线的弦有关的问题较多，如何能快速、简捷地解这类问题？本文将用“圆锥曲线的中点弦斜率公式”给出一个统一解法，现介绍如下：设圆锥曲线c：ax2＋cy2＋dx＋ey＋f＝0的弦mn的中点为p，其中m（x1，y1）、n（x2，y2）、p（x0，y0），且x1≠x2，则ax21＋cy21＋dx1＋ey1＋f＝0，①ax22＋cy22＋dx2＋ey2＋f＝0．②①－②得a（x21－x22）＋c（y21－y22）＋d（x1－x2）＋e（y1－y2）＝0．③给③式的两边同除以（x1－x2），并以2x0代换（x1＋x2），2y0代换（y1＋y2），即得k＝－2ax0＋d2cy0＋e．此公式即为圆锥曲线的中点弦斜率公式．即用弦mn的中点坐标（x0，y0）来表示它的斜率k．此公式在解决圆锥曲线中有关对称、轨迹、证明等问题时简捷、快速，能起到事半功倍的效果．请看几例：例1已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），a、b是椭圆上两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于p（x0，0）点．证明：－a2

Answer 2

(1)
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”
“韦达定理”我就不多说了，重点谈谈
点差法
（2）中点弦问题用点差法.
中点弦问题一般用点差法求直线斜率
以椭圆为例,椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)
设直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),中点N(x0,y0)
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减
(x1+x2)(x2-x1)/a^2+(y2+y1)(y2-y1)/b^2=0
x1+x1=2x0,y1+y2=2y0
kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2*
x0/(a^2*
y0)
AB方程
y-y0=-b^2*
x0/(a^2*
y0)(x-x0)
用类比的方法可以求出双曲线中点弦斜率
b^2*
x0/(a^2*
y0)
抛物线中点弦斜率
p/y0