Question

已知,如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形MNPQ是矩形

Answer 1

解：∵Q、M分别是AD,AB的中点，∴MQ是△ABD的中位线
∴MQ//BD
∵P,N分别是CD,CB的中点，∴PQ是△CDB的中位线
∴PN//BD
∴MQ//PN
以此类同，
QP//MN
∴四边形MNPQ是平行四边形
∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形
又∵Q、M分别是AD,AB的中点
∴AC垂直平分MQ与BD
即MQ⊥BD
∵QP//MN
∴∠MQP=90°∴四边形MNPQ是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

Answer 2

证明:连接A,C连接B,D交AC于O点,令AC与MO的交点为S
∵AD=AB,DC=BC,AC=AC
∴∠AOD=∠AOB=90°
∵M,N.P,Q分别是AB,BC,CD,DA的中点
∴MQ‖BD,QP‖AC
∴∠ASQ=∠AOD=90°
∵QP‖AC
∴QP‖AS
∴∠PQM=∠ASQ=90°(1)
∵QP‖AC,MN‖AC
∴QP‖MN(2)
由(1)(2)可证得四边形MNPQ是矩形.