设数列{An}满足An+1=An^2-nAn+1,n为正整数,当A1>=3时,证明对所有的n>=1,有

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塞玉巧锁黛
2020-03-23 · TA获得超过3.7万个赞
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(1)当n=1时,a1>=3=1+2,an>=n+2成立;
当n
>1时,an=(an-1)^2-nan-1+1,令s=
an-(n+2)
=(an-1)^2-nan-1+1-(n+2)
=(an-1)^2-(n+1)an-1-1.
我们把s看作是以an-1为变数的二次函数,其中,
二次项系数=1大于0,
△=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)=
(n+1)^2+4>0,因此,s>0,
即an>n+2成立。
结合a1>=3有,an>=n+2成立。
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有玉枝闭妆
2019-08-07 · TA获得超过3.6万个赞
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(1)用
数学归纳法

A(n+1)=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
(2)因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)<=1/(An+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1/(1+a2)<=1/2*1/4
1/(1+a1)
+
1/(1+a2)
+
……+1/(1+an)
<=1/4(1+1/2+1/4+.....+1/2^(n-1))<1/4*2=1/2
当且仅当n=1时取等号。
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