Question

设数列{An}满足An+1=An^2-nAn+1,n为正整数,当A1>=3时,证明对所有的n>=1，有

Answer 1

（1）当n=1时，a1>=3=1+2，an>=n+2成立；
当n
>1时，an=（an-1）^2-nan-1+1，令s=
an-（n+2）
=（an-1）^2-nan-1+1-（n+2）
=（an-1）^2-(n+1)an-1-1.
我们把s看作是以an-1为变数的二次函数，其中，
二次项系数=1大于0，
△=[-(n+1)]^2-4*1*(-1)=
(n+1)^2+4>0,因此，s>0,
即an>n+2成立。
结合a1>=3有，an>=n+2成立。

Answer 2

（1）用
数学归纳法
。
A（n+1）=An^2-nAn+1=An(An-n)+1>=An*2+1>=(n+2)*2+1=2n+5>n+1+2
（2）因为an>=n+2,所以an-n>=2
A(n+1)=An(An-n)+1>=2An+1
A(n+1)+1>=2(An+1)
1/(A(n+1)+1)<=1/(An+1)*1/2
1/(1+a1)=1/4,1/(1+a2)<=1/2*1/4
1/(1+a1)
+
1/(1+a2)
+
……+1/(1+an)
<=1/4(1+1/2+1/4+.....+1/2^(n-1))<1/4*2=1/2
当且仅当n=1时取等号。