Question

求f（x）=sin（2x-π/6）的单调区间

Answer 1

f(x)=[sin(x+π/6)]^2-1/6[cos(2x+π/3)]^3+1
=[1-cos(2x+π/3)]/2-1/6[cos(2x+π/3)]^3+1
=
-1/6[cos(2x+π/3)]^3-1/2*cos(2x+π/3)+3/2
令z=cos(2x+π/3)，那么
所求函数转化为
f(z)=-1/6*z^3-1/2*z+3/2，
其中z的取值范围为[-1,1]。
对f(z)求导，得
f'(z)=-1/2*z^2-1/2
=
-1/2(z^2+1)
<0
所以f(z)在z属于[-1,1]上是减函数。
因此f(x)，也就是f(z)的最大值是
-1/6*(-1)^3-1/2*(-1)+3/2=13/6，
而最小值就是
-1/6*1^3-1/2*1+3/2=5/6，
且f(x)的单调区间就是cos(2x+π/3)的单调区间，因此对于任意整数n，
2nπ<=
2x+π/3
<=
2nπ+π时，cos(2x+π/3)是减函数，所以f(x)是增函数；
2nπ+π<=
2x+π/3
<=
(2n+2)π时，cos(2x+π/3)是增函数，所以f(x)是减函数。
也即
当nπ-π/6
<=
x
<=
nπ+π/3时，
f(x)是增函数；
当nπ+π/3
<=
x
<=
nπ+
5π/6时，
f(x)是减函数。