Question

函数的定义

Answer 1

多值函数
从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f
(记作f:X→Y)
是X与Y的关系，满足如下条件：
对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。
则此函数为多值函数。
多值函数与函数的定义有关问题：
1.函数是指实数集对实数集的映射，而从映射的角度出发是定义域中的每个元素只能有一个像。多值函数的一个X可以有两个Y与之对应，这是否与函数的定义相违背？
2.多值函数是不是函数?
如下：
1.并非矛盾因为：
函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。
多值函数从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f
(记作f:X→Y)
是X与Y的关系，满足如下条件：
对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的。即，对每一个输入值，Y中都有至少一个与之对应的输出值。
你认为的矛盾是已经从某种意义上把多值函数归为函数范畴了，如果你把术语函数换成对应来就好理解，对应和多值对应从字面意思就能看出他们所指并不一样，所以并不存在矛不矛盾的话题。就相当于解释什么是‘维’‘一维’‘二维’‘多维’一样。
2.问题出在函数的定义里，在早些年出版的教材里，函数的定义里没有“唯一”两个字，因此函数就有单值函数与多值函数的区分，按那种定义，多值函数是函数；近年出版的教材里，函数的定义里有“唯一”两字，因此函数都是单值的，从这个意义上说，多值函数就不是函数了。
这实际上并没有涉及数学的本质问题，因为在多值函数是函数的概念下，多值函数也是需要分拆成若干个单值函数再进行研究的；在函数都是单值函数的概念下，方程确定的隐函数也仍然会遇到多值的情形，还是需要分拆成单值的情形来研究。
这种定义的改变，并没有改变数学问题的实质，其实是无关紧要的，只是给数学的初学者带来困惑而已，我以为这种定义的改变是没有多大意思的，就象0是不是自然数的问题一样，讨论它有什么意思呢？