Question

设正整数m,n满足m<n,且1/m-1/(n+1)=1/23则m+n=?

Answer 1

1/m-1/(n+1)
=(n-m+1)/[m(n+1)]
=1/23;
整理得到
23(n+1-m)=m(n+1);
23(n+1)-23m=m(n+1);
m=23(n+1)/(n+24)……(1)，
因为m是
正整数
，故
23(n+1)=k(n+24);
23n+23=kn+
24k
;
(23-k)n=24k-23……(2);
因为m<n,所以由(1)得到23(n+1)/(n+24)<n;
即有
n^2+24n>23n+23;
n^2+n-23>0;
解得
n>[-1+根号(93)]/2
>
[-1+9]/2=4,
即n>=5.
另一方面，k不能取奇数，因为当k为奇数时，23-k为偶，(23-k)n为偶，而此时(2)式右边为奇，所以等式无法成立。
所以k只能取
6,8,10,12,14,16,18,20,22
而容易观察k只能取22。
实际上23-k只能是1才能保证24k-23能
整除
23-k。
比如，若k=20,
23-k=3;
而右边24*3-23中23不含因子3，所以不能整除左边。
若k=18,
23-18=5;
而右边24*18-23中均不含因子5，所以不能整除左边。
同理容易看出其他也不行。所以k=22.
所以k=22.
n=505,
此时m=22.
m+n=527.

Answer 2

（1/m²＋m）＋{1/（m²+1）+m+1}+……+（1/n²+n）
=
1/m
-1/m+1
+
1/m+1
-
1/m+2
+
.....+
1/n
-1/n+1
=
1/m
-1/n+1
1/m
-1/n+1
=
1/23
所以
1/m
>
1/23,
即m<23
1/m
-1/n+1
=
1/23
整形得
1/m
=
1/23
+1/n+1
=
(n+1
+23)/23(n+1)
m
=
23(n+1)
/(n+1
+23)
因为m<23，
右端系数23必须被约分
故设n+1
=
23*k
，k为整数，得
m
=
23
*
23k
/23(k+1)
=
23k/(k+1)　
k,
(k+1)
互质
所以(k+1)含有因子23
所以k+1
=
23
m=k
=22是解
当k+1
>23时，
23k/(k+1)>22
由m是正整数,
且m<23，
知只有一个解m=22
n
=
23*k
-1
=
23+22-1　
=
505
m+n
=
22
+505
=
527