Question

如图所示，已知等腰梯形ABCD，DC平行AB，P是底边AB上的一动点，试说明P到直线AD、BC的距离的和是定值

Answer 1

如图简让睁，分别延滑扮长AD、BC，延长线交于点Q。作AG垂直GB于G,连结QP

易得三角形QAB为等腰三角形

三角形QAB面积=三角形QAP面拦岁积+三角形QBP面积

即QB*
AG/2=QA*PE/2+QB*PF/2

又因为QB=QA

所以QB*
AG/2=QB*（PE+PF）/2

即PE+PF=AG

所以P到直线AD、BC的距离的和是定值，等于点P到腰的距离

Answer 2

证明:连结PD,PC,因为梯形面积等于,三孝链角形APD面积+三角形PBC面积+三角形PDC面积

因为,CD平行AB因此,三角形PDC面积是常数.所以三角形APD面积+三角缓慎唯形PBC面积=常数.因为两个腰的扰培值AD=BC是相等的,DA*AP+PB*BC=常数,因此AP+PB=常数

Answer 3

设PE\PF分别是ADBE垂线

等腰梯形推出∠A=∠B

所以△APE相似轮迅源△APF

所昌清以AP/PE=PB/PF=t(t是参数,无实际意腊态义)

所以AP+PB=(AP+PB)*t

AP+PB=AB=定值,所以.....

Answer 4

设PE⊥DA
PF⊥BC
连接DP，CP

S△APD=0.5*AD*EP
所以EP=2S△APD/AD

S△BPC=0.5*BC*FP
所以FP=2S△BPC/BC

因为AD=BC

所以EP+FP=2（S△APD+S△BPC）/BC

S△APD+S△BPC=S梯形-S△DCP

可知，无论P怎么移告隐动，DC不变，且DC到绝贺AB的距离不变，所以S△DCP

因为S梯形不变

所以S△APD+S△BPC

所以2（S△APD+S△BPC）/BC不变

所以EP+EF不变，即P到两端的袜宏厅距离不变