Question

求一道高数题标准答案

设抛物线y=ax^2+bx+c通过原点，且当0≤x≤1时y≥0。如果它与x轴、直线x=1所围成图形的面积为1/3，试确定a,b,c，使得这个图形绕x轴旋转所成的立体体积最小。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

原点代入方程则c=0
因为当0≤x≤1时y≥0
所以他与x轴直线x=1所围成面积为抛物线方程在x=0到1之间的积分=（a/3）+(b/2)=1/3
图形绕x轴的立方体面积=π*（ax^2+bx）^2在x从0到1的积分
=（π/60）*(12a^2+30ab+20b^2)
代入a=1-3b/2
面积=（π/30）[(b-3/2)^2+15/4]
b=3/2时面积最小=π/8
b=3/2时a=-5/4
则抛物线与x轴另一个交点为（6/5,0）满足命题要求。
解为a=-5/4
b=3/2
c=0