Question

如何理解矩阵的“秩”?

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Answer 1

一般来说，如果将矩阵视为行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即，包含在最大独立组中的向量数。在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立垂直列的最大数量。同样，行秩是A的线性独立水平行数的最大数量。

矩阵秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。让A成为一组向量，并将A的最大不相关组中的向量数定义为A的等级。定义 1.在m * n矩阵A中，行k与列k相交处的元素被任意确定以形成A的k阶子矩阵。这个子矩阵的行列式，一个叫做A的k阶子表达式，例如，在一个阶梯式矩阵中，选择 1,3 行和 3,4 列，由元素在其交点处组成的二阶子矩阵的行列式是矩阵A的二阶子公式。定义 2.A =(aij)m × n的非零子公式的最大阶称为矩阵A的秩，其记录为rA、rankA或R(A)。

具体而言，零矩阵的秩被指定为零。显然，ra ≤ min (m，n) 很容易得到: 如果A中至少有一个r阶子公式不等于零，并且当r<min (m，n) 时，如果A中的所有r + 1 子表达式均为 0，则A的等级为r。N阶可逆矩阵的秩可直接从定义中获得。

通常，可逆矩阵称为全秩矩阵，det(A) ÷ 0; 非秩矩阵是奇异矩阵，det(A)= 0。根据行列式的性质 1(1.5)，矩阵A的换位等级与A的换位等级相同。计算以下矩阵的等级，以及A的所有三阶子表达式，其中一种行为为零; 或两行成比例，因此所有三阶子表达式均为零，所以rA = 2。

Answer 2

例如：如果一个3x5矩阵在空间中画出来，点云都分布在一个2D平面里面，那么这个矩阵只需要2个自由度来表达，这个矩阵的秩就是2
从另外一个角度来看，秩就是矩阵中干货数量的度量，秩越大，干货越大，信息越多。

Answer 3

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。矩阵的秩就是极大无关组中所含向量的个数。矩阵的秩就是行向量或者列向量的秩。

Answer 4

“秩”是指图像经过矩阵变换之后的空间维度，指的是列空间的维度。

Answer 5