Question

(2014•河北区三模)已知函数f(x)=sinxx2+1.下列命题:①函数f(...

(2014•河北区三模)已知函数f(x)=sinxx2+1.下列命题: ①函数f(x)的图象关于原点对称; ②函数f(x)是周期函数; ③当x=π2时，函数f(x)取最大值; ④函数f(x)的图象与函数y=1x的图象没有公共点. 其中正确命题的序号是( )A.①③B.②③C.①④D.②④

Answer 1

解答:解:函数定义域为R，且f(-x)=-f(x)，即函数为奇函数，故①正确;
y=sinx是周期函数，而y=x2+1不是周期函数，故f(x)不是周期函数，即②错误;
f′(x)=
(x2+1)cosx-2xsinx
(x2+1)2
，f′(
π
2
)≠0，故f(
π
2
)不是最值，即③错误;
因为f(x)-
1
x
=
sinx-x-
1
x
x2+1
，当x＞0时，sinx＜x，
1
x
＞0，故sinx-x-
1
x
＜0，f(x)＜0;
当x＞0时，sinx＞x，
1
x
＜0，故sinx-x-
1
x
＞0，f(x)＞0.即函数f(x)的图象与函数y=
1
x
的图象没有公共点，④正确.
故选:C.