已知数列{a n }的前n项和为S n , a 1 =- 2 3 ,满足S n 2 +2S n +1=a n S n (n≥2).

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-23,满足Sn2+2Sn+1=anSn(n≥2).(I)计算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表达式;(II)并用数学归纳法证明... 已知数列{a n }的前n项和为S n , a 1 =- 2 3 ,满足S n 2 +2S n +1=a n S n (n≥2). (I)计算S 1 ,S 2 ,S 3 ,S 4 ,猜想S n 的表达式; (II)并用数学归纳法证明. 展开
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纪季苌泰鸿
2020-07-04 · TA获得超过3707个赞
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(I)由题设S
n
2
+2S
n
+1-a
n
S
n
=0,当n≥2(n∈N
*
)时,a
n
=S
n
-S
n-1

代入上式,得S
n-1
S
n
+2S
n
+1=0.(*)
S
1
=a
1
=-
2
3
,∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2(n≥2,n∈N),令n=2可得
,S
2
+
1
S
2
=a
2
-2=S
2
-a
1
-2,∴
1
S
2
=
2
3
-2,∴S
2
=-
3
4

同理可求得
S
3
=-
4
5
,S
4
=-
5
6

(II)猜想S
n
=-
n+1
n+2
,n∈N
+
,下边用数学归纳法证明:
①当n=1时,S
1
=a
1
=-
2
3
,猜想成立.
②假设当n=k时猜想成立,即S
K
=-
K+1
K+2
,则当n=k+1时,∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2,∴
S
K+1
+
1
S
K+1
=
a
k+1
-2


S
K+1
+
1
S
K+1
=
S
K+1
-
S
K
-2
,∴
1
S
K+1
=
K+1
K+2
-2=
-K-3
K+2

∴S
K+1
=-
K+2
K+3
,∴当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即
S
n
=-
n+1
n+2
,n∈N
+
成立.
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