Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 =- 2 3 ，满足S n 2 +2S n +1=a n S n （n≥2）．

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 =- 2 3 ，满足S n 2 +2S n +1=a n S n （n≥2）． （I）计算S 1 ，S 2 ，S 3 ，S 4 ，猜想S n 的表达式； （II）并用数学归纳法证明．

Answer 1

（I）由题设S
n
2
+2S
n
+1-a
n
S
n
=0，当n≥2（n∈N
*
）时，a
n
=S
n
-S
n-1
，
代入上式，得S
n-1
S
n
+2S
n
+1=0．（*）
S
1
=a
1
=-
2
3
，∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S
2
+
1
S
2
=a
2
-2=S
2
-a
1
-2，∴
1
S
2
=
2
3
-2，∴S
2
=-
3
4
．
同理可求得
S
3
=-
4
5
，S
4
=-
5
6
．
（II）猜想S
n
=-
n+1
n+2
，n∈N
+
，下边用数学归纳法证明：
①当n=1时，S
1
=a
1
=-
2
3
，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S
K
=-
K+1
K+2
，则当n=k+1时，∵S
n
+
1
S
n
=a
n
-2，∴
S
K+1
+
1
S
K+1
=
a
k+1
-2
，
∴
S
K+1
+
1
S
K+1
=
S
K+1
-
S
K
-2
，∴
1
S
K+1
=
K+1
K+2
-2=
-K-3
K+2
，
∴S
K+1
=-
K+2
K+3
，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即
S
n
=-
n+1
n+2
，n∈N
+
成立．