Question

这是一道曲面积分，有谁会做呀？

Answer 1

1、 这是一道曲面积分，过程见上图。
2、 这一道曲面积分，计算的第一步，差开成6项曲面积分。
3、 这一道曲面积分，第二步，后3个曲面积分利用对称性，其曲面积分都是0。
4、 这一道曲面积分，第三步，曲面方程代入到被积函数中去。
5、 这一道曲面积分，第四步，被积函数是1的第一类曲面积分等于曲面的面积，即球面的面积。
具体求 这道曲面积分的解题步骤见上。

Answer 2

(x+y+z)²
=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）
xy项，对x是奇函数，有（x，y，z），必有（-x，y，z）与之对应，两项互相抵消，积分是0；
同理，yz，zx的积分也都是0，
等同于：
∫∫（Σ）（x²+y²+z²）dS=R²∫∫（Σ）dS=4πR^4

Answer 3

这道题不会做，因为上学数学学的不好

Answer 4

球方程即 z^2 = R^2-x^2-y^2, 得 2z∂z/∂x = -2x, ∂z/∂x = -x/z,
同理 ∂z/∂y = -y/z
则 dS = √[1+(-x/z)^2+(-y/z)^2] = (R/|z|)dxdy = [R/√(R^2-x^2-y^2)]dxdy
在上半球面的积分是
I = ∫∫<Dxy>[R^2+2xy+(2x+2y)√(R^2-x^2-y^2)][R/√(R^2-x^2-y^2)]dxdy
Dxy 关于 x，y 轴都对称，则 y， x 的奇函数积分为 0.
I = R^3∫∫<Dxy>[1/√(R^2-x^2-y^2)]dxdy
= R^3∫<0, 2π>dt∫<0, R>rdr/√(R^2-r^2)
= -πR^3∫<0, R>d(R^2-r^2)/√(R^2-r^2)
= -πR^3[2√(R^2-r^2)]<0, R> = 2πR^4；
同理，在下半球面的积分是 2πR^4；
则在整个球面的积分是 4πR^4.
也可直接利用曲面积分的对称性解之。