Question

高中数学空间几何题

四边形ABCD为正方形，现有一四棱柱以四边形ABCD为底面，且AC,BD交于F。且AA'=√2/2乘AB。 （1）求证：A'F垂直C'F （2）求当AF以AA'为轴，CF以CC'为轴旋转时，所切去几何体体积为原几何体体积的多少？

Answer 1

（1）证明：
∵四边形ABCD为正方形，且AC,BD交于F
∴AB=BC=CD=AD，AF=BF=CF=DF=(√2/2)*AB
∵四棱柱以四边形ABCD为底面
∴A'A⊥平面ABCD
∴A'A⊥AF
同理，C'C⊥CF
∵AA'=(√2/2)*AB
∴AF=AA'
∴A'F=√2*A'A=√2*(√2/2)*AB=AB
同理，C'F=AB
∵A'C'=AC=√2*AB
∴在⊿A'C'F中，A'F=C'F=AB，A'C'=√2*AB
∴∠A'FC'=90°
∴A'F⊥C'F
（2）这个问题很有问题，当AF以AA'为轴，CF以CC'为轴旋转时，AF和CF都是在同一平面，不论怎么切，都不可能把四棱柱切去部分体积，明显题目有误。应该是A'F和C'F旋转吧。
如果是“求当A'F以AA'为轴，C'F以CC'为轴旋转时，所切去几何体体积为原几何体体积的多少？”,那么可以用一下解法。
所切去几何体体积为两个1/4圆锥体，椎体体积公式为：(1/3)*底面积*高，底面积为：2*(1/4)*π*AF²=2*(1/4)*π*(√2/2)²*AB²=π*AB²/4，高为：A'A=(√2/2)*AB，所以所切去几何体体积为：(π*AB²/4)*(√2/2)*AB=(√2/8)*π*AB³。
原几何体体积为四棱柱的体积，棱柱的体积公式为：底面积*高，底面积为：AB²，高为A'A=(√2/2)*AB，原几何体体积为：AB²*(√2/2)*AB=(√2/2)*AB³。
所以，所切去几何体体积为原几何体体积的[(√2/8)*π*AB³]/[(√2/2)*AB³]=π/4

Answer 2

1)，A'C'=AC=√2乘AB，A'F^2=AA'^2+AF^2，因为AF也等于√2/2乘AB，所以A'F=AB，同理C'F=AB，所以A'F^2+C'F^2=A'C'^2，所以三角开A'C'F为直角三角形，A'F垂直C'F
2)，应该是A'F，和C'F吧，A'F，和C'F旋转就会形成两个四分之一锥体，锥体半径为AF=√2/2乘AB,高为AA'==√2/2乘AB，锥体体积为三分之一倍的底面积乘高，切去的几何体体积为半个锥体，应为√2*pi/24乘AB的立方，四棱柱体积为√2/2乘AB的立方，所以为pi/12