Question

一道高中平面几何题

我高中时代做过的一道题，之所以还记得，一是因为题目本身很好记，另一方面是因为我花了6个多小时，不吃不喝把它搞定了，然后第二天去考奥数得了一等奖。
任意三角形，三个顶角分别作三等分线，一共6条线两两相交得3个交点（相邻两线相交），证明这3个交点构成的三角形为正三角形。
记得我是用三角函数推的，洋洋洒洒两三页纸，到头来父亲说了句：为什么不用简单的方法？当时他没说，后来问他却说不记得了。至今不知有什么简单方法。
草图.

Answer 1

如图，为方便起见，设三角形的三个角分别为3A, 3B, 3C, A+B+C = π/3

由正弦定理

AB1/sinB = 2R * sin3C /sin(A+B)

AC1/sinC = 2R * sin3B /sin(A+C)

AB1 = 2R sin3C*sinB/sin(π/3-C) 

    = 2R sin(π-3C)*sinB/sin(π/3-C) 

    = [3-4sin(π/3-C)^2]sinB

    = 8R*sinBsinCsin(C+ π/3)

AC1 = 8R*sinBsinCsin(B+ π/3)

由余弦定理

   B1C1^2

 = AB1^2 + AC1^2 - 2AB1*AC1*cosA

 = 64R*R*sinB^2sinC^2 [ sin(C+ π/3)^2 + sin(B+ π/3)^2 

   -2 sin(C+ π/3)*sin(C+ π/3)*cosA]

下面证明 

 sin(C+ π/3)^2 + sin(B+ π/3)^2-2 sin(C+ π/3)*sin(C+ π/3)*cosA 

= sinA^2

 sin(C+ π/3)^2 + sin(B+ π/3)^2-2 sin(C+ π/3)*sin(C+ π/3)*cosA 

= 1 - (1/2)[cos(2C+ 2π/3)+cos(2B+ 2π/3)] 

    -2 sin(C+ π/3)*sin(C+ π/3)*cosA 

= 1-cos(B+C+2π/3)cos(B-C)-cos(B-C)cosA + cos(B+C+2π/3)cosA

= 1 + cos(B+C+2π/3)cosA

= 1 - cosA^2

= sinA^2

  B1C1^2 = 64R*R*sinA^2*sinB^2sinC^2

  B1C1 = 8R sinAsinBsinC

同理可证 A1B1 = A1C1= 8R sinAsinBsinC

三角形A1B1C1为等边三角形

Answer 2

你说的是morley定理，参考http://tieba.baidu.com/f?kz=134940943
1) 三角函数证明：http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml
2) 构造法证明：http://blog.gxsti.net/post/110a3423-fdb3-448c-aee3-c50b12895d6f

三角函数的方法简单易想，在竞赛时间比较紧的情况下几乎是唯一的方法，构造方法我认为实际上是在三角函数方法对这个问题研究比较透彻情况（比如知道中间B/3三角形中另外两个角是60°+A/3和60°+C/3）下才可能想到的

楼主说头天花6个小时搞定它，第二天去拿竞赛一等奖，这未免也太凑巧了

Answer 3

给张图片吧，画不出你要的图像

Answer 4

等等，