Question

如图a，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD于F，证明1/AB+1/CD=1/EF成立

若将图中的垂直改为斜交，如图b，AB//CD，AD，BC相交于点E，EF//AB交BD于点F，则 （1）1/AB+1/CD=1/EF成立吗？如果成立，请给出证明，如不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BCD和S△EBD之间的关系，并给出证明。

Answer 1

（1）∵AB∥EF
∴△DEF∽△DAB
∴ EF/AB=DF/DB
∵CD∥EF
∴△BEF∽△BCD
∴ EF/CD=BF/DB
∴ EF/AB+EF/CD=DF/DB+BF/DB= DB/DB=1
∴ 1/AB+1/CD=1/EF

（2）关系式为： 1/S△ABD+1/S△BDC=1/S△BED
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得： 1/AM+1/CK=1/EN
∴ 2/BD•AM+2/BD•CK= 2/BD•EN
即 1/1/2•BD•AM+1/1/2•BD•CK
又∵ 1/2•BD•AM=S△ABD， 1/2•BD•CK=S△BCD
∴ 1/2•BD•EN=S△BCD
∴ 1/S△ABD+1/S△BDC=1/S△BED

Answer 2

考点：平行线分线段成比例．
专题：综合题．

分析：（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果；
（2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系．

解答：（1）成立．
证明：∵AB∥EF
∴EF/AB=DF/DB
∵CD∥EF
∴EF/CD=BF/DB
∴EF/AB+EF/CD=DF/DB+BF/DB=DB/DB=1
∴1/AB+1/CD=1/EF；

（2）关系式为：1/S△ABD+1/S△BDC=1/S△BED
证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K
由题设可得：1/AM+1/CK=1/EN
∴2/BD•AM+2/BD•CK=2/BD•EN
即1/1/2•BD•AM+1/1/2•BD•CK
又∵1/2•BD•AM=S△ABD，1/2•BD•CK=S△BCD
∴1/2•BD•EN=S△BED
∴1/S△ABD+1/S△BDC=1/S△BED．
点评：此题考查平行线分线段成比例定理的运用．

Answer 3

(1)EF/AB=DF/BD EF/DF=AB/BD
BF/BD=EF/CD CD/BD=EF/BF
BD/CD+BD/AB=(BF+DF)/EF BF+DF=BD
1/CD+1/AB=1/EF
成立。证法一样。