Question

设随机变量X在[-π/2，π/2]上服从均匀分布，求随机变量Y=cosX的密度函数

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

分布函数法，
X的概率密度函数为
fX(x)=
{1/π
-π/2＜x＜π/2时
{
0
其它
设Y的分布函数为FY(y)，
显然，
(1)当y≤0时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=0
∴fY(y)=[FY(y)]'=0
(2)当0＜y＜1时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)
=P(-π/2＜X≤-arccosy)
+P(arccosy≤X＜π/2)
=∫[-π/2~-arccosy]1/π·dx
+∫[arccosy~π/2]1/π·dx
=1-2/π·arccosy
∴fY(y)=[FY(y)]'=2/[π√(1-x²)]
(3)当y≥1时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=1
∴fY(y)=[FY(y)]'=0
综上，
fY(y)=
{2/[π√(1-x²)]
0＜y＜1时
{
0
其它