Question

线性代数齐次方程通解问题？

如图，这里我有点不懂的是既然α1和α2是基础解系，那么AX=0的通解不应该是k1α1+k2α2吗，为什么是k2 (α1+2) 呢

Answer 1

没错，单就AX=0来说，通解就是

y=k1α1+k2α2.

这就导致其基础解向量是不唯一的。表达式有多种。

逐一分析本题，

我们知道非齐次线性方程组的解的特征为：齐次方程的通解+非齐次方程的特解！

A的前面含有常系数的部分是AX=0的通解，但！后面的(β1-β2)/2不是AX=b的特解，所以，A错

B的前面含有常系数的部分都是AX=0的解，但！我们并不清楚(β1-β2)是否和α1线性无关，所以，B也不正确

C的前面含有常系数的部分中(β1+β2)不是AX=0的通解，所以，C错

D前面含有常系数的部分是AX=0的通解，后面的(β1+β2)/2也是AX=b的特解，所以

D正确

对于这种题，要确认：

1.带系数的是不是AX=0的通解(是其解，且线性无关，解向量个数还要有要求)

2.不带常系数的是不是AX=b的特解

追答

望采纳~~～

Answer 2

此题选 D。
因A(β1+β2)/2 = (b+b)/2 = b, 则 (β1+β2)/2 是 Ax = b 特解。排除选项 A, C。
选项 D ：x = k1α1+k2(α1+α2)+(β1+β2)/2 = (k1+k2)α1+k2α2+(β1+β2)/2
= c1α1 + c2α2 + (β1+β2)/2 是 Ax = b 通解。
你说的没有错，Ax = 0 的通解是 k1α1+k2α2 ， 但答案中无此选项。

Answer 3

这题的答案好像和你的说法毫无关系啊，我觉得你对答案理解有问题吧

追问

那答案的选项该怎么证明呢

追答

这个直接可以看出来
a）既然a1,a2是基础解系，通解中必须包含a1,a2的非线性相关组合，所以排除BC，因为他们只出现a1
b) A乘以答案应该得到b，而A答案中乘以矩阵A得到0，所以排除
所以答案只能是D