Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2...

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为π2，其中的一个对称中心是（π3，0）且函数的一个最小值为-2． （1）求函数f（x）的解析式，并求当x∈[0，π6]时f（x）的值域； （2）若函数f（x）在区间（π12，b）上有唯一的零点，求实数b的最大值．

Answer 1

解：（1）∵最小值为-2，
∴A=2．
∵相邻两条对称轴之间的距离为π2，
∴T2=π2，即T=π，
∴ω=2πT=2ππ=2．
∵点(π3，0)在图象上
∴2sin(2×π3+ϕ)=0，
即sin(2π3+ϕ)=0，
∴2π3+ϕ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-2π3（k∈Z）．
又ϕ∈(0，π2)，
∴φ=π3，
∴f（x）=2sin(2x+π3)；
∵x∈[0，π6]，
∴2x+π3∈[π3，2π3]，
当2x+π3=π3，即x=0时，f（x）取得最大值0，
当2x+π3=7π12，即x=π8时，f（x）取得最小值-2，
故f（x）的值域为[-2，0]．
（2）当x=π12时，f（π12）=2sin（π6+π3）=2，
由函数f（x）在一个周期内的图象可知，f（x）要在区间(π12，b)上有唯一零点，b最大可取5π6．
∴b的最大值为5π6．