Question

求解 谢谢 若a>=0,b>=0,0<p<1,证(a+b)^p<=a^p+b^p

Answer 1

令f(x)=x^p，x>0
由0<p<1得，f'(x)单调递减
不妨设a<b
则(a+b)^p-b^p=f(a+b)-f(b)
由拉格朗日中值定理得f(a+b)-f(b)=f'(c)(a+b-b)=f'(c)*a，b<=c<=a+b
a^p=f(a)-f(0)同理得f(a)-f(0)=f'(d)*a，0<=d<=a
由f(x)递减，f'(c)<f'(d)所以f(a+b)-f(b)<f(a)
即(a+b)^p<=a^p+b^p，a或b等于0时成立

Answer 2

微分中值定理的简单运用
令f(x)=x^p，x>0
由0<p<1得，f'(x)单调增加
不妨设a<b
则(a+b)^p-b^p=f(a+b)-f(b)
由拉格朗日中值定理得f(a+b)-f(b)=f'(c)(a+b-b)=f'(c)*a，b<=c<=a+b
a^p=f(a)-f(0)同理得f(a)-f(0)=f'(d)*a，0<=d<=a
由f(x)递减，f'(c)<f'(d)所以f(a+b)-f(b)<f(a)
即(a+b)^p<=a^p+b^p，a或b等于0时成立