Question

第一型曲线积分问题：∮C(2x^2 3y^2)ds，其中C是曲线x^2 y^2=2(x y)？

∮C(2x^2+3y^2)ds，其中C是曲线x^2+y^2=2(x+y)？

Answer 1

C可以化简为：(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
令 x-1 = rcost; y-1 = rsint, 则有：r = √2
∮C(2x^2+3y^2)ds = ∮[0, 2pi] [2(1+rcost)^2 + 3(1+rsint))^2] r dt
= ∮[0, 2pi] [2(1+2rcost+r^2cos^2t) + 3(1+2rsint+r^2sin^2t)] r dt
= ∮[0, 2pi] (5r + 4r + r) dt (这里用到了sint, cost 在周期内积分为零简化）
= 20√2 pi

追问

答案是这样给的，请问最后一步是怎么化简掉x-1和y-1的？

追答

因为圆心在 (1,1), x-1, y-1与圆心对称，积分一圈结果皆为零。

追问

怎么看出来关于圆心对称的啊...为什么对称了积分结果就是0

追答

画一个(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2， x-1在左半圆为负，右半圆为正。又因为对称性，正负抵消。所以，结果为零。同理 y-1 为满足此对称，上半圆为正，下半圆为负，正负抵消。

追问

x-1是怎么画出来的？是y=x-1吗？那样好像也不是啊...

追答

你可以想象坐标平移右一个单位，上一个单位。这样就相当于 x , y 对圆 x^2+y^2 = 1对对称。

你可以想象坐标平移右一个单位，上一个单位。这样就相当于 x , y 对圆 x^2+y^2 = 1 对称。

Answer 2

先给定一点设其坐标为x，则此点关于直线x=a的对称点的坐标为2a-x。

若存在f(x)=-f(2a-x)，则∮cf(x)ds=0，其中曲线c关于x=a对称

故∮c（x-1）ds=∮c（y-1）ds=0，c既关于x=1对称又关于y=1对称