Question

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个...

已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（π4，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个π2单位长度后得到函数g（x）的图象． （1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（π6，π4），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由； （3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=2πT=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为(π4，0)，φ∈（0，π），
故f（π4）=sin（2×π4+φ）=0，得φ=π2，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-π2）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（π6，π4）时，12＜sinx＜√22，0＜cosx＜12，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π6，π4）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（π6，π4），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（π6，π4），
∴G′（x）＞0，G（x）在（π6，π4）内单调递增，
又G（π6）=-14＜0，G（π4）=√22＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π6，π4）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（π6，π4）满足题意．
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-cos2xsinx，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=-cos2xsinx的解的情况．
令h（x）=-cos2xsinx，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=cosx(2sin2x+1)sin2x，令h′（x）=0，得x=π2或x=3π2，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x （0，π2） π2 （π2，π） （π，3π2） 3π2 （3π2，2π） h′（x） + 0 - - 0 + h（x） ↗ 1 ↘ ↘ -1 ↗ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于-∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于-∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当-1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=-1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．