Question

等价无穷小替换原则

等价无穷小替换原则是什么?
有的说加减不能替换 乘除可以替换 那么 在同一个式子中 分子加减 分母乘除 如 当x趋近于0时 (sinx-tanx)/xsinx时该如何算呢?还有 求极限时有时要边带入边计算 这个的原则有事什么?求指教

Answer 1

像这种差函数的等价无穷小,不是不能等价无穷小代替,而是有个精度的问题,有时候两个函数的一阶泰勒展开相同的话,相减会消掉一阶的主部,造成只有0的结果,相加相乘是可以替换的
比如你直接带入那就是sinx~x,tanx~x,然后相减就是0了,但是这样是不对的
如果你不清楚泰勒公式,那这种题就直接用洛必达法则,但是洛必达法则非常麻烦,
你如果直接记住泰勒公式就好做了
sin x = x-x^3/3!+O(x^3)
tanx=x+(1/3)x^3+O(x^3)
你把这两个函数用泰勒公式二阶展开发现二阶主部不同,
那么就用二阶来作等价无穷小代替
sinx-tanx=-x³/2+O(x^3)
当x趋近于0时sinx~x,所以xsinx=x²
所以原式可以换成-x³/2+O(x³)/x²=-x/2+O(x³)/x²=0
这里你是不是给错了...如果下面是x²sinx那结果就是-1/2
求极限时如果是边代入边算的时候那就是代入的时候能够求出具体值的就可以直接代入,然后继续洛必达法则