Question

x+y=1 求1/2x+x/（y+1）的最小值

Answer 1

x+y=1则y+1=2-x
1/(2x)+x/(2-x)
=1/(2x)+(x-2+2)/(2-x)
=1/(2x)-1+2/(2-x)
=1/(2x)-1+4/(4-2x)
因为2x+(4-2x)=4
所以4[1/(2x)+4/(4-2x)]
=[2x+(4-2x)][1/(2x)+4/(4-2x)]
=1+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)+4
=5+8x/(4-2x)]+(4-2x)/(2x)≥5+2√[8x/(4-2x)]*(4-2x)/(2x)]
=5+2√4
=9
所以
1/(2x)+4/(4-2x)≥9/4
则1/(2x)-1+4/(4-2x)≥5/4
所以原式最小值是5/4

Answer 2

y=2x²+3/x

=2x²+3/2x
+3/2x
>=3
立方根号（2x²
*
3/2x
*
3/2x
）——三个正数的算术平均值不大于几何平均值

=3
立方根号（
9/2
）

最小值：
3
立方根号（
9/2
）
当2x²=3/2x
，即x^3=3/4时达到最小值