Question

设数列xn有界，yn的极限是零，证明xn×yn的极限等于零

Answer 1

因为数列{Yn}的极限是0

则对于任意的e,存在N(e),使得n>N时,|Yn|<e

因为数列{Xn}有界

所以不妨假设|Xn|<M

于是当n>N(e/M)的时候|XnYn|<e

由于e的任意性

所以数列{XnYn}的极限是0。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限

4、利用无穷小的性质求极限

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限

Answer 2

任意小的数aXn有界,则一定存在一个M,使得绝对值Xn小于等于MYn极限为零,则存在N,当n大于N时,对上述的a,有Yn小于a/M所以XnYn小于a即证