Question

复变函数f(z)=u+iv为解析函数,u-v=x^3+3x^2-3xy^2-y^3,求u

Answer 1

设f(z)=u+iv，其中 u=x³-3xy, v=3yx² -y³。

由可导条件需满足：柯西-黎曼条件，即 ∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x。

而∂u/∂x=6x²+3y，∂u/∂y=-3x。

∂v/∂x=6xy，∂v/∂y=3x²-3y²。

若要满足柯西-黎曼条件，需要 6x²+3y=3x²-3y²-3x=-6xy。

u=-6xy。

扩展资料：

解析开拓的概念可以推广到这样的情形 ：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，且D1∩D2≠ ，在D1∩D2上f（z)=g（z )则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（ f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。

它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。

参考资料来源：百度百科-解析函数

Answer 2

首先，你题目打错了。u-v就不是调和函数。
应该是u-v=x^3+3x^2y-3xy^2-y^3
令g=(1+i)f，则g=(u-v)+i(u+v)。首先求g，把x和y用z和z的共轭表示。发现u-v=(1-i)z^3的实部。所以g=(1-i)z^3。所以f=-iz^3。所以u=3x^2y-y^3。