Question

如图,在平行四边形abcd中,ef分别为dc,ab的中点

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为DC、AB的中点，AE、CF与对角线BD的交点分别为G、H，设 ， ，试用 、 的线性组合分别表示向量 、 和 . ____

Answer 1

【分析】 由已知可得 ， ，则 ， ， ， ， ，由向量加法的三角形法则，得 ， ，由平面几何知识可得CH=AG，CH∥AG，故 ， ， . ∵四边形ABCD是平行四边形， \n∴AB∥CD，AB=CD， \n∴ . \n∵E为CD中点， \n∴ ， \n∴ ， \n同理 ， \n∴ ， ， ， ， \n∴ . \n∵ ， ， \n由向量加法的三角形法则，得 ， \n∴ . \n∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为DC、AB的中点， \n∴CE=AF，CE∥AF， \n∴四边形CEAF为平行四边形， \n∴CF∥AE. \n∵AD∥BC， \n∴∠ADG=∠CBH. \n在△ADG和△CBH中， \nAD=CB，∠ADG=∠CBH，DG=BH， \n∴△ADG≌△CBH(SAS)， \n∴CH=AG， \n∴ . \n又由 ， ， \n得 ， \n∴ . 【点评】 本题有一定的难度，关键是利用平行四边形及三角形一边的平行线性质得到相关线段的关系，再利用向量加法的三角形法则及向量的线性组合，通过数形结合得到表达式.