Question

若级数1/un收敛，则级数（1/un-1/u(n+1)）的和为

Answer 1

敛散性不定。
①un=0为收敛
(-1)^n
un/n=0收敛
②
令U(n)=(-1)^n/ln(n+1)（+1是为了保证n=1时有意义），则U(n)是趋于零的交错数列，所以由莱布尼茨判别法知∑U(n)收敛。
(-1)^n*U(n)/n=1/(n*ln(n+1))，它与1/((n+1)*ln(n+1))同敛散（商的极限为1）。对级数∑1/((n+1)*ln(n+1))用积分判别法：
∫[1,∞]
1/((x+1)*ln(x+1))
dx
=∫[2,∞]
1/(x*ln(x))
dx
=ln(ln(x))|[2,∞]
=∞，
所以∑(-1)^n*U(n)/n=∑1/(n*ln(n+1))发散。