Question

已知x+y=1，y>0，x不等于0

则1/(2|x|)+|x|/(y+1)的最小值为

Answer 1

y>0
=>
x<1，且x≠0，分两种情况
①
0<x<1时，1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1/(2|x|)+|x|/(2-|x|)
=[|x|+(2-|x|)]/(4|x|)+|x|/(2-|x|)
=1/4+(2-|x|)/(4x|)+|x|/(2-|x|)，由均值不等式得
≥1/4+2√1/4=5/4，当x=2/3时取到此时的最小值5/4
②
x<0时，1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1/(2|x|)+|x|/(2+|x|)
=1+1/(2|x|)-2/(2+|x|)。令z=1/(2|x|)-2/(2+|x|)，得
2z|x|²+(4z+3)|x|-2=0，看做是|x|的二次函数，且有正根
则△=(4z+3)²+16z≥0
=>
(4z+1)(4z+9)≥0
=>
z≥-1/4或z≤-9/4
而z≤-9/4时，两根之和=-(4z+3)/(2z)<0，两根之积=-2/(2z)>0
∴此时两根均为负数，即没有正根，∴z≤-9/4不成立
∴z≥-1/4，且|x|=2时，z取到最小值-1/4
∴此时有1/(2|x|)+|x|/(y+1)=1+z≥1-1/4=3/4，x=-2时取到此时最小值3/4
综上两种情况知1/(2|x|)+|x|/(y+1)的最小值为3/4，此时x=-2，y=3