Question

[高考数学题]已知函数f(x)=lnx,g(x)=x.求:

(1)若x>1，求证：f(x)>2g((x-1)/(x+1)) (2)是否存在实数k,使方程0.5g(x^2)-f(1+x^2)=k有四个不同的实根？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由。 注：x^2表示x的平方 请各位大侠将过程写详细，谢谢。

Answer 1

（1）
令F(x)=xlnx+lnx-x+1;
F'(x)=lnx+1/x
当x>1时，F'(x)>0
F(x)>F(1)=0
xlnx+lnx-x+1>0
2lnx>x(x-1)/(x+1)
f(x)>2g((x-1)/(x+1))
(2)
令G(x)=0.5x^2-ln(1+x^2)-k
G'(x)=x-2x/(1+x^2)=0
x=0,1,-1
当x<-1时，G'(x)<0
当-1<x<0时，G'(x)>0
当0<x<1时，G'(x)<0
当x>1时，G'(x)>0
要使方程0.5g(x^2)-f(1+x^2)=k有四个不同的实根，
应该使G(-1)<0,G(0)>0，G(1)<0
则0.5-ln2-k<0
-k>0
0.5-ln2-k>0
矛盾，因此k的取值范围不存在

Answer 2

要求连续,必须左极限和右极限都存在,而且必须相等.
先求左极限
limf(x)=√(1+x)/x
-1
x→0-
=(1+x)/x√(1+x)
-1
x→0-
再求右极限
limf(x)=1/a
x→0+
没有左极限哪来的连续啊?题目是不是有问题.
我想了半小时没想出来.

Answer 3

第一问可移项利用导数知识判断函数F(x)=f(x)-2g((x-1)/(x+1))
的单调性为在x>1上的增函数从而F(x)>F(1)得证!
第二问要研究函数0.5g(x^2)-f(1+x^2)-k的单调性解答