Question

y=x·sinx 为什么不是周期函数?

Answer 1

因为y=cosX本身具有双重属性。

第一，是一个周期函数。

第二，关于y轴对称。y=cos|x|的图像是由 y=cosX的图像y轴的右边对折得到的，实际上得到的还是 y=cosX本身，也就是说，y=cos|x|=cosX。

但是y=sin|x| 不一样，由y=sinx的图像y轴的右边对折得到的，但问题在于，y=sinx 本身不是关于y轴对称的，想想y=sinx 从x=0点出发的曲线是怎么样的，是向上走像爬山一样的；如果把这个爬山一样的曲线关于y轴对折，就会变成y轴左边是个下坡曲线，在原点下降到0，然后开始爬坡。

这种图形只有原点才会有，y=sin|x| 的其他地方不会出现，所以y=sin|x| 不是周期函数。推理不成立，因此y=x·sinx不是周期函数。

假设f(x)是周期函数

不妨设f(x)的最小正周期为t(t>0)，则对于任意的x都满足f(x+t)=f(x)，

即(x+t)sin(x+t)=xsinx①

令x=0，

则tsint=0，

∴sint=0，

t=kπ(k∈z)。

代入①得

(x+kπ)sin(x+kπ)=xsinx，

∴(x+kπ)(-sinx)=xsinx。

对任意x都成立

∴x+kπ=-x，

x=-kπ/2对任意x都成立，

矛盾，假设不成立，

即f(x)不是周期函数。