Question

如何证明拉格朗日中值定理?

Answer 1

如下：

这里用到的方法是红色曲线与直线AB在[a,b]中横坐标相等纵坐标的距离来证明拉格朗日中值定理。

我们令曲线为f(x)，直线AB为L(x)，距离为d(x)。

首先我们要得出直线的方程用f(x)来表示由端点A,B可知直线AB的斜率为[f(b)-f(a)]/(b-a)。

再通过点斜式求得直线L(x)的方程为：L(x)=f(a)+[f(b)-f(a)/(b-a)](x-a)。

之后将曲线方程与直线方程做差得d(x)=f(x)-L(x)。

随后我们就可以用罗尔定理来证明，d(a)=d(b)=0，d(x)函数是初级函数即在[a,b]内是连续函数，在(a,b)可导，所以得出结论d’(x)=f’(x)- [f(b)-f(a)/(b-a)]。

根据罗尔定理在(a,b)内至少存在一点令其为z使得d’(z)=0，方可得出拉格朗日中值定理的结论f(b)-f(a)= f’(x) (b-a)。