Question

非齐次线性方程组有无穷多解的条件是什么？

Answer 1

非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩回阵的秩，即rank(A)=rank(A，b)，否则为无解。非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

非齐次线性方程组的求解

非齐次方程的求解步骤是首先对增广矩阵进行初等变换化成阶梯型矩阵，包括齐次的也是一样，然后在系数矩阵中获得一组基础解析，求非齐次方程的一个特解，为了简便计算需要让所有的自由变量的取值等于0，剩下的按照解的结构写出通解。

例如，线性非齐次线性方程2x1-2x2+x3-x4+x5=1,x1+2x2-x3+x4-2x5=1,4x1-10x2+5x3-5x4+7x5=1，2x1-14x2+7x3-7x4+11x5=-1。首先需要对非齐次进行化简可以化简成E也可以是阶梯型矩阵。化简成E其实是减少计算量的。