Question

从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形

从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。

请问这个题目的初衷就是为了让读者使用均值不等式吗？还有没有其他的做法？我们正在学大学数学1，2。

Answer 1

不能说出这个题的初衷就是为了使用均值不等式，应该说这道题的最值情况就是均值不等式原理的体现，所以运用均值不等式能最简捷地解答出来。即在知道b^2+c^2=a^2为定值的条件下，求b+c的最大值。由b、c两数的算术平均值小于等于其平方平均值可以知道，当b、c两数相等时，其和取最大值。即当b=c时，b+c/2=2√[（b^2+c^2）/2]=√2×a
那么，a+b+c=(1+√2)a
这个题目也可以用别的方法，比如三角函数法。设其中一锐角为A则，题目转化为：求a+asinA+acosA的最值。
这道题如果是用大学数学解答，应该转化成条件极值问题，套用拉格朗日乘数法：限制条件是b^2+c^2=a^2，多元函数y=a+b+c(其中b、c为自变量)略。

Answer 2

从斜边长为a的一切直角三角形中,两个直角边分别为a*sinα，acosα，α为其中一个锐角；
周长等于a+a*sinα+acosα
=a+a（sinα+cosα）
=a+a*√2sin(α+π/4)

当=sin(α+π/4)取最大值时周长最大，最大值为1，此时α+π/4=π/2，α=π/4，
最大周长为a*（1+√2）