Question

为什么第一类间断点没有原函数,第二类间断点可能有?

Answer 1

若积分后在间断点处左右极限存在时，可能有原函数。举例说明如下：设F(x)=xsin(1/x)，x≠0 ；x=0时，F(x)=0。 则f(x)=F'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0而x=0时，F'(x)不存在 。易知x=0为f(x)的第二类间断点，但f(x)有原函数F(x)。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律 ，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

原函数存在定理：

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。