Question

为什么n阶矩阵的特征矩阵的秩一定是n？

Answer 1

因为：n阶矩阵不可逆说明，|a|=0。那么根据矩阵的行变换必然存在至少一行元素全为0，那么非零行行数必然小于n，就是该矩阵的秩<n。

det(λE-A)是A的特征多项式，从而非零（不是零多项式），由此推出λE-A的Smith标准型所有的对角元都非零，所以λE-A满秩，也可以直接看最高阶非零子式（就是n阶）。

定义

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。