Question

设Ψ具有二阶连续偏导数，ω=Ψ（x，x/y，xy/z），如何求ω关于z的二阶偏导数？

如图。

Answer 1

过程与结果如下

Answer 2

ω = Ψ(x，x/y，xy/z), 记 p = x， q = x/y, r = xy/z
∂ω/∂z = (∂Ψ/∂r)(∂r/∂z) = -(xy/z^2)(∂Ψ/∂r)
∂^2ω/∂z^2 = (2xy/z^3)(∂Ψ/∂r) - (xy/z^2)(∂^2Ψ/∂r^2)(∂r/∂z)
= (2xy/z^3)(∂Ψ/∂r) + (xy/z^2)^2 (∂^2Ψ/∂r^2)

Answer 3

ω = Ψ(x，x/y，xy/z), 记 p = x， q = x/y, r = xy/z
∂ω/∂z = (∂Ψ/∂r)(∂r/∂z) = -(xy/z^2)(∂Ψ/∂r)
∂^2ω/∂z^2 = (2xy/z^3)(∂Ψ/∂r) - (xy/z^2)(∂^2Ψ/∂r^2)(∂r/∂z)
= (2xy/z^3)(∂Ψ/∂r) + (xy/z^2)^2 (∂^2Ψ/∂r^2)。