Question

用洛必达法则求lim（1+sinx）^1/x的极限，x趋向于0

Answer 1

极限值
为e。
解题过程如下：
令a=lim(1+sinx)^(1/x)
则：lna=ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=lim[ln(1+sinx)^(1/x)]
limln(1+sinx)^(1/x)=lim1/xln(1+sinx)=lim[ln(1+sinx)/x]
x→0时，ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=
ln1
=0
根据
洛必达法则
，1/(1+sinx)xcosx/1=cosx/(1+sinx)
因此，ln[lim(1+sinx)^(1/x)]=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
即：lna=1
a=e^1=e
扩展资料：
洛必达法则的使用条件：
1、分子
分母
同趋向于0或无穷大；
2、在变量所趋向的值的
去心邻域
内，分子和分母均
可导
；
3、分子和分母分别求完导后比值存在或趋向于无穷大。
即：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：
（1）x→a时，lim
f(x)=0,lim
F(x)=0;
（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0;
（3）x→a时，lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大
则
x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))。

Answer 2

极限值为e。
解题过程如下：
1/(1+sinx)xcosx/1
=cosx/(1+sinx)
x-0
原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
lna=1
a=e^1=e
答：原函数的极限值为e.
扩展资料
应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
注意事项
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式极限。

Answer 3

解：令a=lim(1+sinx)^(1/x)
lna=lnlim(1+sinx)^(1/x)
lna=limln(1+sinx)^(1/x)
lna=lim1/xln(1+sinx)=limln(1+sinx)/x
x-0,ln(1+sinx)-ln(1+sin0)=ln(1+0)=ln1=0
x-0,分母-0
0/0型
洛必达法则
1/(1+sinx)xcosx/1
=cosx/(1+sinx)
x-0
原是=cos0/(1+sin0)=1/(1+0)=1/1=1
lna=1
a=e^1=e
答：原函数的极限值为e.