用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+……+n(3n+1)=n(n+1)^2
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n=1的时候
1×4= 1（1+1）²
设当n=k 的时候
1×4+2×7+3×10+……+k(3k+1)=k(k+1)^2
成立
则当n=k+1的时候
1×4+2×7+3×10+……+k(3k+1)+（k+1）（3k+4）
=k(k+1)^2+（k+1）（3k+4）
=（k+1）（k²+k+3k+4）
=（k+1）（k+1+1）²
即n=k+2 ，成立
综上所述，根据数学归纳法知
1×4+2×7+3×10+……+n(3n+1)=n(n+1)^2
1×4= 1（1+1）²
设当n=k 的时候
1×4+2×7+3×10+……+k(3k+1)=k(k+1)^2
成立
则当n=k+1的时候
1×4+2×7+3×10+……+k(3k+1)+（k+1）（3k+4）
=k(k+1)^2+（k+1）（3k+4）
=（k+1）（k²+k+3k+4）
=（k+1）（k+1+1）²
即n=k+2 ，成立
综上所述，根据数学归纳法知
1×4+2×7+3×10+……+n(3n+1)=n(n+1)^2
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