Question

等差数列奇数项和与偶数项和的关系是什么？

Answer 1

等差数列的奇数项和与偶数项和之比是an/a(n+1)。

假设等差数列总项数为偶数

假设是2n项，则奇数项是n项。

第一个是a1，最后是a(2n-1)。

所以和=[a1+a(2n-1)]n/2

偶数项是n下边那个，第一个是a2，最后是a2n。

所以和=(a2+a2n)n/2

比=[a1+a(2n-1)]/(a2+a2n)

因为a2=a1+d

a(2n-1)=a2n-d

且a2n=a1+(2n-1)d

所以比=[a1+a1+(2n-1)d-d]/[a1+a1+(2n-1)d+d]

=(2a1+2nd-2d)/(2a1+2nd)

=(a1+nd-d)/(a1+nd)

=an/a(n+1)

等差数列的推论：

等差数列an，设公差为d，则an+1-an=d。

对奇数项或偶数项，相邻两项中间间隔一项，则有an+2-an=2d。

S奇=a1+a3+...+a(2k-1) (k=1，2，3...)

=(a1+a(2k-1))*k/2

=(a1+a1+(k-1)*2d)*k/2

=k*a1+k(k-1)d

=k*a1+k²d-kd

S偶=a2+a4+...+a(2k) (k=1，2，3...)

=(a2+a(2k))*k/2

=(a2+a2+(k-1)*2d)*k/2

=k*a2+k(k-1)d

=k*(a1+d)+k²d-kd

=k*a1+k²d