Question

正交矩阵行列式的值是什么？

Answer 1

正交矩阵行列式的值是若A是正交阵，则AA^T=E两边取行列式得|A||A^T|=1，即|A|^2=1，所以|A|=±1。

设A是正交矩阵：

则 AA^T=E。

两边取行列式得：|AA^T| = |E| = 1。

而 |AA^T| = |A||A^T| = |A||A| = |A|^2。

所以 |A|^2= 1。

所以 |A| = 1 or -1。

正交矩阵的特点如下：

1、实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。

2、任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

3、对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。