Question

exy=exey能推出独立吗?

Answer 1

不能，EXY≠EXEY与不相关才是充要条件。

解析如下：

独立只是E(XY)=EXEY的一个充分条件，但不是必要条件。由于cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY，所以不相关<=>cov(X,Y)=0<=>E(XY)=EXEY。

相关->不独立。

独立->不相关。

是一对逆反命题。

直接说不相关->独立是不行的。

推广：

设A,B,C是三个事件，如果满足P(AB)=P(A)P(B)、P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C)、P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，则称事件A、B、C相互独立。

更一般的定义是A1、A2……An是n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个，任意3个…任意n个事件的积事件的概率，都等于各个事件概率之积，则称事件A1、A2……An相互独立。