Question

线性相关行列式等于零？

Answer 1

线性相关时，向量可以被其他向量线性表示，因此通过初等变换，可以把某一行或列化成0，从而此时行列式为0。

若n阶行列式|αij|中某行(或列)，行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1，b2，…，bn；另一个是с1，с2，…，сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。