Question

根号x的原函数是什么？

Answer 1

√x的原函数是2√x+C，（C是任意常数）。

做法可以有以下两种：

导函数法：对于幂函数f(x)=ax^m+C而言，容易求得其导函数是f`(x)=amx^(m-1)，因此由于题目中给出的为导函数f`(x)=1/√x=x^(-1/2)，可知am=1，m-1=-1/2。解这个二元一次方程组可以得到a=2，m=1/2，所以f(x)=2x^(1/2)+C=2√x+C。

积分表法：即f(x)=∫1/√xdx，经查下表，根据地2条可知f(x)=2√x+C。

附录常用积分表（以下C指任意常数）：

∫adx=ax+C，（a为常数）。

∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C，其中a为常数，且a≠-1。

∫1/xdx=lnx+C。

∫e^xdx=e^x+C。

∫a^xdx=a^x/lna+C，其中a>0，且a≠1。

∫sinxdx=-cosx+C。

∫cosxdx=sinx+C。

若函数f(x)在某区间上连续，则f(x)在该区间内必存在原函数，这是一个充分而不必要条件，也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故若函数f(x)有原函数，那么其原函数为无穷多个。

例如：x3是3x2的一个原函数，易知，x3+1和x3+2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律，就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。