Question

四个常用均值不等式是什么?

Answer 1

四个常用均值不等式：a²+b²≥2ab；√(ab)≤(a+b)/2；a²+b²+c²≥(a+b+c)²/3；a+b+c≥3×三次根号abc。

应用：

例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)。

证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[（√x)*（√x)*(1/x)]^(1/3)=3。

所以，2√x≥3-1/x。

例二 长方形的面积为p，求周长的最小值。

解：设长，宽分别为a,b，则a*b=p。

因为a+b≥2√（ab），所以2(a+b）≥4√（ab)=4√p。

周长最小值为4√p。

例三 长方形的周长为p，求面积的最大值。

解：设长，宽分别为a,b，则2(a+b)=p。

因为a+b=p/2≥2√（ab），所以ab≤p^2/16。

面积最大值是p^2/16。