Question

正交矩阵的特征值为什么是1或负1?

Answer 1

正交矩阵的特征值：

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。即有Ax=λx，且x≠0。

两边取转置，得x^TA^T=λx^T，所以x^TA^TAx=λ＾2x^Tx。因为A是正交矩阵，所以A^TA=E。

所以x^Tx=λ＾2x^Tx。由x≠0知x^Tx是一个非零的数，故λ＾2=1，所以λ＝1或－1。

注意：

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。