Question

矩阵的秩与伴随矩阵的秩的关系是什么？

Answer 1

一个矩阵的秩与其伴随矩阵的秩的关系：

1、如果r(A)=n，则r(A*)=n。

2、如果r(A)=n-1，则r(A*) =1。

3、如果r(A)< n-1，则r(A* )= 0。

如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。

比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。

小技巧：

A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。

矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。